В 1947 году окончил 1-ю Московскую спец.школу ВВС и был направлен на учёбу в Харьковское авиационно-техническое училище. С 1949 года проходил службу в 705-м гвардейском истребительном авиаполку. В 1958 году после окончания с отличием Военно-воздушной инженерной академии имени Н.Е. Жуковского – в Государственном Красно­знамённом научно-испытательном институте ВВС имени В.П. Чкалова, где прошёл путь от помощника ведущего инженера-испытателя до заместителя начальника управления по испытательно-методической и научно-исследовательской работе. Участвовал в лётных испытаниях многих типов самолётов. В 1985–1990 годы – председатель научно-технического комитета ВВС.

Награждён орденами Почёта, Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени и многими медалями.

14 мая 2020 г. на Федеральном военном мемориальном кладбище состоялась церемония захоронения Лауреата Государственной премии СССР,  генерал-лейтенанта авиации Клягина Анатолия Сергеевича.