В 1959 году окончил Тихоокеанское высшее военно-морское училище имени С.О. Макарова, в последующем – Военно-морскую академию, Высшие академические курсы при Военной академии Генерального штаба Вооружённых Сил, Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил. За более чем 40-летнюю службу в Вооружённых Силах Ф.Н. Громов прошёл славный путь от курсанта училища до главнокомандующего ВМФ. 

          В 1984 году назначен начальником штаба – первым заместителем командующего Северным флотом, в 1988 году – командующим Северным флотом. В марте 1992 года стал первым заместителем командующего ВМФ, а в августе того же года – главнокомандующим Военно-морским флотом.

          Награждён орденами «За заслуги перед Отечеством» IV степени, «За военные заслуги», Октябрьской Революции, «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» II и III степени, медалью «За воинскую доблесть. В ознаменование 100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина» многими другими медалями.

 26 января 2021 г. на Федеральном военном мемориальном кладбище состоялась церемония захоронения адмирала флота Громова Феликса Николаевича.