Окончил Белгородское артиллерийское училище, Военную академию имени М.В. Фрунзе, Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил. Служил командиром взвода безоткатных орудий 73-го мотострелкового полка гвардейской Таманской дивизии, командиром артиллерийской батареи этого же полка, старшим адъютантом заместителя главнокомандующего РВСН, старшим офицером оперативного направления ЦКП главнокомандующего РВСН.

        С 1969 года А.Н. Клеймёнов – в Сухопутных войсках. Проходил службу в войсках Дальневосточного и Прикарпатского военных округов. Последовательно занимал должности заместителя командира, командира мотострелкового полка, заместителя командира, командира мотострелковой дивизии, начальника штаба – первого заместителя командующего, командующего общевойсковой армией. С 1984 по 1987 год – начальник штаба – первый заместитель командующего войсками Закавказского военного округа, с 1987 по 1989 год – начальник штаба – первый заместитель главнокомандующего войсками Дальнего Востока.

        В 1989 году был назначен заместителем начальника Генерального штаба Вооружённых Сил СССР.

        Награждён орденами Октябрьской Революции, Красной Звезды, «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» III степени, многими медалями.